数学において、コーシーの主値(Cauchy principal value)とは、ある種の広義積分に対して定められる値のことである。

定義

関数 f に対して

a < b となる aに対しては

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx=\backslash pm\backslash infty$

$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx=\backslash pm\backslash infty$

c > b となる cに対しては

:$\backslash int\_b^c\; f(x)\backslash ,dx=\backslash mp\backslash infty$

$\backslash int\_b^c\; f(x)\backslash ,dx=\backslash mp\backslash infty$

であるような b が存在するとき（複号同順）

$\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash rightarrow\; 0+\}\; \backslash left(\backslash int\_a^\{b-\backslash varepsilon\}\; f(x)\backslash ,dx+\backslash int\_\{b+\backslash varepsilon\}^c\; f(x)\backslash ,dx\backslash right)$

で定められる値をコーシーの主値という。

或いは、関数 f に対して

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^0\; f(x)\backslash ,dx=\backslash pm\backslash infty$

$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^0\; f(x)\backslash ,dx=\backslash pm\backslash infty$

$\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx=\backslash mp\backslash infty$

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx=\backslash mp\backslash infty$

が成り立つ時（複号同順）

:$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash int\_\{-a\}^a\; f(x)\backslash ,dx$

$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash int\_\{-a\}^a\; f(x)\backslash ,dx$

で定められる値をコーシーの主値という。

これらの条件は、 b や ∞ が特異点である時ということであるが、もし b と ∞ が同時に特異点である場合には、コーシーの主値は次のように定義される。

:$\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\; \backslash rightarrow\; 0+\}\backslash int\_\{b-1/\backslash varepsilon\}^\{b-\backslash varepsilon\}\; f(x)\backslash ,dx+\backslash int\_\{b+\backslash varepsilon\}^\{b+1/\backslash varepsilon\}f(x)\backslash ,dx.$

$\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\; \backslash rightarrow\; 0+\}\backslash int\_\{b-1/\backslash varepsilon\}^\{b-\backslash varepsilon\}\; f(x)\backslash ,dx+\backslash int\_\{b+\backslash varepsilon\}^\{b+1/\backslash varepsilon\}f(x)\backslash ,dx.$

表記法

コーシーの主値の表し方は特に決まっておらず、著者によって様々である。概ね、以下の

$PV\; \backslash int\; f(x)dx,$

$\backslash mathcal\{P\}\backslash int\; f(x)dx$

のごとく、PV, P, P.V., P_v, (CPV), V.P. のような記号を符牒として積分の通常の記法に付して用いるが、特にこれらに限られるというわけでもなく、その時の前後の文脈から判断する必要があるといえる。

例

次の式は、一つ目はコーシーの主値を計算しているが、二つ目は積分区間が少し違うために結果も異なる。

$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; 0+\}\backslash left(\backslash int\_\{-1\}^\{-a\}\backslash frac\{dx\}\{x\}+\backslash int\_a^1\backslash frac\{dx\}\{x\}\backslash right)=0,$

$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\; 0+\}\backslash left(\backslash int\_\{-1\}^\{-a\}\backslash frac\{dx\}\{x\}+\backslash int\_\{2a\}^1\backslash frac\{dx\}\{x\}\backslash right)=-\backslash log\_e\; 2.$

このように少しの違いで値が異なってしまうため注意が必要である。 広義積分の仕方によっては

$\backslash int\_\{-1\}^1\backslash frac\{dx\}\{x\}$

は、±∞の両方の値を取り得る。

同じように

$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash int\_\{-a\}^a\backslash frac\{2x\backslash ,dx\}\{x^2+1\}=0,$

$\backslash lim\_\{a\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash int\_\{-2a\}^a\backslash frac\{2x\backslash ,dx\}\{x^2+1\}=-\backslash log\_e\; 4$

の場合も

$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\backslash frac\{2x\backslash ,dx\}\{x^2+1\}$

は、±∞の両方の値を取り得る。